1의 거듭제곱근/세제곱근

1의 세제곱근에 대한 문서이다. 고1 1학기 교육과정의 '복소수' 파트에서 기본적으로 삼차방정식 $x^3=1$ 또는 $x^3=-1$을 통해 배우며 이를 통해 복소수의 중요한 성질을 확인할 수 있다. 고1 교육과정에서는 소문자 오메가 $\omega$ 로 표기한다.[1]

일반적으로 실수계수 삼차방정식에 허근이 존재한다면 반드시 2개의 허근이 존재하며, 그 둘은 반드시 켤레복소수이다. 그리고, 두 허근을 흔히 $\omega$와 $\overline \omega$으로 표기한다. 그런데, $x^3=1$에서는 특별하게도 $\overline \omega = \omega^2 = \dfrac{1}{\omega} = -1-\omega$를 만족시키며, 다양하게 변화된 관계식이 만들어진다. 단, $\omega$는 임의의 삼차방정식의 허근으로도 쓰이기에, $x^3=1$의 허근이 아닐 수도 있으니, 어떻게 정의되었는지 명확하게 확인해야 한다.

$x^3-1=0$의 꼴로 이항한 뒤 인수분해하면

이차방정식 $x^2+x+1=0$을 근의 공식으로 풀면 최종적인 근은 다음과 같다.

$x^3=1$(또는 $x^2+x+1=0$)의 한 허근이 $\omega$이면 다른 허근은 켤레복소수이므로 $\overline \omega$로 표기한다.

허수지수함수를 이용해 $\omega = {\rm cis}(2\pi/3) = e^{i\cdot{2\pi}/{3}}$로도 표기할 수 있다.[2]

$x^3=1$의 한 허근이 $\omega$이면 다른 허근은 $\overline \omega$이므로

$x^2+x+1=0$의 한 허근이 $\omega$이면 다른 허근은 $\overline \omega$이므로

$\omega+\dfrac{1}{\omega}=\overline\omega+\dfrac{1}{\overline\omega}=-1$이고 $\left(\omega+\dfrac{1}{\omega}\right)^2=\left(\overline\omega+\dfrac{1}{\overline\omega}\right)^2=1$이므로

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

한편, 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여도 같은 결론을 도출할 수 있다.

절댓값(복소평면에서의 원점과의 거리)은 다음과 같다.

켤레복소수 $\overline\omega$는 $\omega$를 실수축에 대하여 대칭이동한 것이므로 $|\omega|=|\overline\omega|$이다. 부호 함수를 취할 경우 ${\rm sgn}(\omega) = \omega$가 성립한다.

또한, $\{1,\,\omega,\,\overline\omega\}$은 복소평면에서 원점을 중심으로 정삼각형을 그리며[4], 한 변의 길이는 $\sqrt3$이다.

위의 성질을 활용하여 $\omega$에 관한 다양한 식의 값을 묻는 문제가 나오며, 아래 열거된 예 외에도 무궁무진하게 식을 만들 수 있다.

$\omega^3=1$이므로 음이 아닌 정수 $k$에 대하여

이 성질을 이용하면 다음과 같은 식의 값을 빠르게 구할 수 있다.

조금 더 일반적인 차원에서, 음이 아닌 정수 $k$에 대하여

$x^3=-1$인 경우도 $x^3=1$인 경우와 비슷하다. $x^3+1=0$의 꼴로 이항한 뒤 인수분해하면


이차방정식 $x^2-x+1=0$을 근의 공식으로 풀면 최종적인 근은 다음과 같다.



참고로 $x^3=1$의 한 허근을 $\omega$라고 할 때, $-1, -\omega, -\omega^2$ 이 $x^3=-1$의 근이 된다.

단순히 방정식 $x^3=\pm 1$만을 언급하는 문제는 쉬운 편이며, 다음과 같은 문제들을 풀 줄 알아야 한다. $\omega$에 관한 문제는 허근 $\omega$의 값을 직접 구해서 풀어도 수학적으로는 옳지만, 시간이 너무 오래 걸릴뿐더러 교육학적 의의에 따른 출제자의 의도와 거리가 멀다. 이런 문제들은 $\omega$의 정확한 값을 알지 못해도 문제에서 묻는 $\omega$에 관한 식의 값 자체는 대수적으로 구할 수 있음을 깨닫게 하는 것을 목표로 삼기 때문이다.